如圖1,正方形ABDE和BCFG的邊AB,BC在同一條直線上,且AB=2BC,取EF的中點M,連線MD,MG,...
問題詳情:
如圖1,正方形ABDE和BCFG的邊AB,BC在同一條直線上,且AB=2BC,取EF的中點M,連線MD,MG,MB.
(1)試*DM⊥MG,並求的值.
(2)如圖2,將圖1中的正方形變為菱形,設∠EAB=2α(0<α<90°),其它條件不變,問(1)中的值有變化嗎?若有變化,求出該值(用含α的式子表示);若無變化,說明理由.
【回答】
(1)*:如圖1中,延長DM交FG的延長線於H.
∵四邊形ABCD,四邊形BCFG都是正方形,
∴DE∥AC∥GF,
∴∠EDM=∠FHM,
∵∠EMD=∠FMH,EM=FM,
∴△EDM≌△FHM(AAS),
∴DE=FH,DM=MH,
∵DE=2FG,BG=DG,
∴HG=DG,
∵∠DGH=∠BGF=90°,MH=DM,
∴GM⊥DM,DM=MG,
連線EB,BF,設BC=a,則AB=2a,BE=2a,BF=a,
∵∠EBD=∠DBF=45°,
∴∠EBF=90°,
∴EF==a,
∵EM=MF,
∴BM=EF=a,
∵HM=DM,GH=FG,
∴MG=DF=a,
∴==.
(2)解:(1)中的值有變化.
理由:如圖2中,連線BE,AD交於點O,連線OG,CG,BF,CG交BF於O′.
∵DO=OA,DG=GB,
∴GO∥AB,OG=AB,
∵GF∥AC,
∴O,G,F共線,
∵FG=AB,
∴OF=AB=DF,
∵DF∥AC,AC∥OF,
∴DE∥OF,
∴OD與EF互相平分,
∵EM=MF,
∴點M在直線AD上,
∵GD=GB=GO=GF,
∴四邊形OBFD是矩形,
∴∠OBF=∠ODF=∠BOD=90°,
∵OM=MD,OG=GF,
∴MG=DF,設BC=m,則AB=2m,
易知BE=2OB=2•2m•sinα=4msinα,BF=2BO°=2m•cosα,DF=OB=2m•sinα,
∵BM=EF==,GM=DF=m•sinα,
∴==.
知識點:各地會考
題型:綜合題