已知,如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點為M(1,9),經過拋物線上的兩點A(﹣3,﹣7)和B(...
問題詳情:
已知,如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點為M(1,9),經過拋物線上的兩點A(﹣3,﹣7)和B(3,m)的直線交拋物線的對稱軸於點C.
(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式.
(2)在拋物線上A、M兩點之間的部分(不包含A、M兩點),是否存在點D,使得S△DAC=2S△DCM?若存在,求出點D的座標;若不存在,請說明理由.
(3)若點P在拋物線上,點Q在x軸上,當以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出滿足條件的點P的座標.
【回答】
解:(1)二次函式表示式為:y=a(x﹣1)2+9,
將點A的座標代入上式並解得:a=﹣1,
故拋物線的表示式為:y=﹣x2+2x+8…①,
則點B(3,5),
將點A、B的座標代入一次函式表示式並解得:
直線AB的表示式為:y=2x﹣1;
(2)存在,理由:
二次函式對稱軸為:x=1,則點C(1,1),
過點D作y軸的平行線交AB於點H,
設點D(x,﹣x2+2x+8),點H(x,2x﹣1),
∵S△DAC=2S△DCM,
則S△DAC=DH(xC﹣xA)=(﹣x2+2x+8﹣2x+1)(1+3)=(9﹣1)(1﹣x)×2,
解得:x=﹣1或5(捨去5),
故點D(﹣1,5);
(3)設點Q(m,0)、點P(s,t),t=﹣s2+2s+8,
①當AM是平行四邊形的一條邊時,
點M向左平移4個單位向下平移16個單位得到A,
同理,點Q(m,0)向左平移4個單位向下平移16個單位為(m﹣4,﹣16),即為點P,
即:m﹣4=s,﹣6=t,而t=﹣s2+2s+8,
解得:s=6或﹣4,
故點P(6,﹣16)或(﹣4,﹣16);
②當AM是平行四邊形的對角線時,
由中點公式得:m+s=﹣2,t=2,而t=﹣s2+2s+8,
解得:s=1,
故點P(1,2)或(1﹣,2);
綜上,點P(6,﹣16)或(﹣4,﹣16)或(1,2)或(1﹣,2).
知識點:各地會考
題型:綜合題