如圖1，在平面直角座標系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交於A、B、兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C．（...

問題詳情：

如圖1，在平面直角座標系中，拋物線 y=x2﹣x﹣與x軸交於A、B、兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C．

（1）判斷△ABC形狀，並說明理由．

（2）在拋物線第四象限上有一點，它關於x軸的對稱點記為點P，點M是直線BC上的一動點，當△PBC的面積最大時，求PM+MC的最小值；

（3）如圖2，點K為拋物線的頂點，點D在拋物線對稱軸上且縱座標為，對稱軸右側的拋物線上有一動點E，過點E作EH∥CK，交對稱軸於點H，延長HE至點F，使得EF=，在平面內找一點Q，使得以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸，請問是否存在這樣的點Q，若存在請直接寫出點E的橫座標，若不存在，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）結論：△ABC是直角三角形．理由如下，

對於拋物線 y=x2﹣x﹣，令y=0得 x2﹣x﹣=0，解得x=﹣或3；令x=0得y=﹣，

∴A（﹣，0），C（0，﹣），B（3，0），

∴OA=，OC=，OB=3，

∴==，∵∠AOC=∠BOC，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO=∠OBC，

∵∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠ACB=90°．

（也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理*）．

（2）如圖1中，設第四象限拋物線上一點N（m， m2﹣m﹣），點N關於x軸的對稱點P（m，﹣m2+m+），作過B、C分別作y軸，x軸的平行線交於點G，連線PG．

∵G（3，﹣），

∴S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG=××（﹣m2+m+2）+ו（3﹣m）﹣××=﹣（m﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴當m=時，△PBC的面積最大，

此時P（，），

如圖2中，作ME⊥CG於M．

∵CG∥OB，

∴∠OBC=∠ECM，∵∠BOC=∠CEM，

∴△CEM∽△BOC，

∵OC：OB：BC=1：3：，

∴EM：CE：CM=1：3：，

∴EM=CM，

∴PM+CM=PM+ME，

∴根據垂線段最短可知，當PE⊥CG時，PM+ME最短，

∴PM+MC的最小值為+=．

（3）存在．理由如下，

①如圖3中，當DH=HF，HQ平分∠DHF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸．

作CG⊥HK於G，PH∥x軸，EP⊥PH於P．

∵FH∥CK，K（，﹣），

易知CG：GK：CK=3：4：5，

由△EPH∽△KGC，得PH：PE：EH=3：4：5，設E（（n， n2﹣n﹣），則HE=（n﹣），PE=（n﹣），

∵DH=HF，

∴+[﹣n2+n+﹣（n﹣）]=（n﹣）+，

解得n=或（捨棄）．

②如圖4中，當DH=HF，HQ平分∠DHF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸．

同法可得[n2﹣n﹣+（n﹣）]﹣=（n﹣）+，

解得n=+或﹣（捨棄）．

③如圖5中，當DH=DF，DQ平分∠HDF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸．

設DQ交HF於M．由△DHM∽△CKG，可知HM：DH=4：5，

 [（n﹣）+]：[n2﹣n﹣+（n﹣）﹣]=4：5，

解得n=+或=﹣（捨棄），

④如圖6中，當FQ平分∠DFH時，滿足條件，此時=．

∴5× [n2﹣n﹣﹣+（n﹣）]=4[（n﹣）+]，

解得：n=或（捨棄）

綜上所，滿足條件的點E的橫座標為或+或+或．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題