已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).(1)求拋物線C的方程,並求其準線方程.(2)是...

問題詳情：

已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).

(1)求拋物線C的方程,並求其準線方程.

(2)是否存在平行於OA(O為座標原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等於?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.

【回答】

【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,

所以p=2.

故所求的拋物線C的方程為y2=4x,

其準線方程為x=-1.

(2)假設存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.

由得y2+2y-2t=0.

因為直線l與拋物線C有公共點,

所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.

由直線OA到l的距離d=,

可得=,解得t=±1.

又因為-1,1∈,

所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題