如圖，四稜錐中，平面，，，.（Ｉ）*：；（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.

問題詳情：

如圖，四稜錐中，平面，，，.

（Ｉ）*：；

（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.

【回答】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連線，由，，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理*.

（Ⅱ）設，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點到平面的距離，由是中點，得到到平面的距離，然後根據與平面所成的角的正弦值為求解.

【詳解】

（Ⅰ）取的中點，連線，

由，，得三點共線，

且，又，，

所以平面，

所以.

（Ⅱ）設，，，

在底面中，，

在中，由余弦定理得：，

在中，由余弦定理得，

兩式相加得：，

所以 ，

，

過作，則平面，

即點到平面的距離，

因為是中點，所以為到平面的距離，

因為與平面所成的角的正弦值為，

即，

解得.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象運算求解的能力，屬於中檔題.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題