如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A、B兩點(A在B的左側),且OA=3,OB=1...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A、B兩點(A在B的左側),且OA=3,OB=1,與y軸交於C(0,3),拋物線的頂點座標為D(﹣1,4).
(1)求A、B兩點的座標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)過點D作直線DE∥y軸,交x軸於點E,點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點(點P不與B、D兩點重合),PA、PB與直線DE分別交於點F、G,當點P運動時,EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
【回答】
(1)由拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A、B兩點(A在B的左側),且OA=3,OB=1,得
A點座標(﹣3,0),B點座標(1,0);
(2)設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),
把C點座標代入函式解析式,得
a(0+3)(0﹣1)=3,
解得a=﹣1,
拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:
過點P作PQ∥y軸交x軸於Q,如圖,
設P(t,﹣t2﹣2t+3),
則PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△AEF∽△AQP,
∴,
∴EF==;
又∵PQ∥EG,
∴△BEG∽△BQP,
∴,
∴EG===2(t+3),
∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.
知識點:各地會考
題型:綜合題