△ABC是等边三角形,点D是*线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,...
问题详情:
△ABC是等边三角形,点D是*线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交*线AB,AC于点F,G,连接BE.
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求*:△AEB≌△ADC.
②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.
(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.
【回答】
【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
②四边形BCGE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.
又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形,
∴四边形BCGE是菱形.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题