已知抛物线C:y2=4x和直线l:x=-1.(1)若曲线C上存在一点Q,它到l的距离与到坐标原点O的距离相等,...
问题详情:
已知抛物线C:y2=4x和直线l:x=-1.
(1)若曲线C上存在一点Q,它到l的距离与到坐标原点O的距离相等,求Q点的坐标;
(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线,切点记为A,B,求*:直线AB过定点.
【回答】
(1)解 设Q(x,y),则(x+1)2=x2+y2,即y2=2x+1,
由解得Q.
(2)* 设过点(-1,t)的直线方程为y-t=k(x+1)(k≠0),代入y2=4x,得ky2-4y+4t+4k=0,由Δ=0,得k2+kt-1=0,
特别地,当t=0时,k=±1,切点为A(1,2),B(1,-2),显然AB过定点F(1,0).
一般地方程k2+kt-1=0有两个根,
∴k1+k2=-t,k1k2=-1,
∴两切点分别为A,B,∴=,=,
又-=2=0,
∴与共线,又与有共同的起点F,∴A,B,F三点共线,∴AB过点F(1,0), 综上,直线AB过定点F(1,0).
知识点:圆锥曲线与方程
题型:综合题