如图，已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点...

问题详情：

如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．

①求x12+x22的值；

②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．

【回答】

（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=，

可得椭圆标准方程为+=1；（3分）

（2）①由题意可得k1k2==﹣，

即为x12x22=16y12y22，

又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，

可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，

即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），

化简可得x12+x22=8；（6分）

②由题意可得C（x2，﹣y2），

由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，

可得y12+y22==，（8分）

由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，

可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，

由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，

可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），（9分）

由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，

可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，（10分）

则直线AC的斜率为kAC==±=±．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题