在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3， 若以DE为直...

问题详情：

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3，  若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（    ）

A．                       B．                         C．                         D．

【回答】

D

【解析】

根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．

【详解】

解：取DE的中点O，过点O作OG⊥MN于点G，作CH⊥AB于点H.

∴，

当弦心距OG最短时，MN取最大值，

∴当点C，O，G三点共线时，即当点O在CH上时，MN取最大值，

连接OM.

∵∠C=90°，BC=3，AC=4，

∴CH==2.4

∴OH=2.4-1.5=0.9，

∴OM=1.5，

则在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，

根据垂径定理，MN=2MH=2.4.

故选D.

【点睛】

本题实质是求圆中的弦的最大值的问题，圆中弦的弦心距越小，弦越大，所以当弦MN的弦心距最小时，MN的值最大．直角三角形斜边上的高是一个定值，圆的半径也是一个定值，所以当点C，O，G三点共线时，弦心距OH最小，此时MN最大，再构造直角三角形，结合垂径定理，勾股定理则可解决问题．

知识点：勾股定理

题型：选择题