已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)判断并用定义*的单调*;(3)若对任意的,不等式恒成立,求实...
问题详情:
已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断并用定义*的单调*;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【回答】
(1) (2)在上是增函数,*见解析 (3)
【解析】
(1)利用f(1)+f(﹣1)=0,即可解得a的值,并利用定义检验即可;
(2)判断:单调递增.设x1∈R,x2∈R且x1<x2,只要*f(x1)﹣f(x2)<0,即可;
(3)利用函数f(x)的奇偶*和单调*可得:对任意的,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0恒成立⇔mt2+1>mt﹣1对任意的恒成立.对m分类讨论和利用二次函数的*质即可得出.
【详解】(1)由f(1)+f(﹣1)=0,得.
检验:a=2时,,
∴f(x)+f(﹣x)=0对x∈R恒成立,即f(x)是奇函数.
(2)判断:单调递增.
*:设x1∈R,x2∈R且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在R上是增函数.
(3)∵f(x)是奇函数,∴不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0⇔f(mt2+1)>f(mt﹣1),
∵f(x)在R上是增函数,∴对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0恒成立,
即mt2+1>mt﹣1对任意的t∈R恒成立,
即mt2﹣mt+2>0对任意的t∈R恒成立.
m=0时,不等式即2>0恒成立,合题意;
m≠0时,有即0<m<8.
综上:实数m的取值范围为0≤m<8
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶*和单调*、“三个二次的关系”、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题