已知二次函数对任意的都有,且.(1)求函数的解析式;(2)设函数.①若存在实数,,使得在区间上为单调函数,且取...
问题详情:
已知二次函数对任意的都有,且.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数.
①若存在实数,,使得在区间上为单调函数,且取值范围也为,求的取值范围;
②若函数的零点都是函数的零点,求的所有零点.
【回答】
(1);(2)① ;②见详解.
【解析】
(1)先设二次函数的解析式为,根据题意列出系数对应的方程组,求解,即可得出结果;
(2)①由(1)可得:,对称轴,由函数在区间上单调,得到或,分别研究和两种情况,结合题中条件,以及二次函数*质,即可得出结果;
②先设为的零点,由题意得到,即,求出或,分别研究和两种情况,即可得出结果.
【详解】(1)设二次函数的解析式为,
则,
由得恒成立,又,
所以,所以,所以;
(2)①由(1)可得:,对称轴,在区间上单调,
所以或,
当时,在区间上单调增,所以,即为的两个根,所以只要有小于等于2两个不相等的实根即可,
所以要满足,得
当时,在区间上单调减,所以,即
两式相减得,因为,所以,
所以,,得;
综上,的取值范围为
②设为的零点,则,即,得或,
当时,
所以所有零点为;
当时,
由得,
所以所有零点.
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式,求函数零点,以及由函数单调*与值域求参数的问题,熟记二次函数的*质,以及根的存在*及根的个数的判断方法即可,属于常考题型.
知识点:函数的应用
题型:解答题