如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°,那麼我們稱這樣的三角形為“準互餘三角形”.(1)若△ABC是“...
問題詳情:
如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°,那麼我們稱這樣的三角形為“準互餘三角形”.
(1)若△ABC是“準互餘三角形”,∠C>90°,∠A=60°,則∠B= °;
(2)如圖①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分線,不難*△ABD是“準互餘三角形”.試問在邊BC上是否存在點E(異於點D),使得△ABE也是“準互餘三角形”?若存在,請求出BE的長;若不存在,請説明理由.
(3)如圖②,在四邊形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“準互餘三角形”,求對角線AC的長.
【回答】
【分析】(1)根據“準互餘三角形”的定義構建方程即可解決問題;
(2)只要*△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB,由此即可解決問題;
(3)如圖②中,將△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要*△FCB∽△FAC,可得CF2=FB•FA,設FB=x,則有:x(x+7)=122,推出x=9或﹣16(捨棄),再利用勾股定理求出AC即可;
【解答】解:(1)∵△ABC是“準互餘三角形”,∠C>90°,∠A=60°,
∴2∠B+∠A=60°,
解得,∠B=15°,
故*為:15°;
(2)如圖①中,
在Rt△ABC中,∵∠B+∠BAC=90°,∠BAC=2∠BAD,
∴∠B+2∠BAD=90°,
∴△ABD是“準互餘三角形”,
∵△ABE也是“準互餘三角形”,
∴只有2∠A+∠BAE=90°,
∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°,
∴∠CAE=∠B,∵∠C=∠C=90°,
∴△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB,
∴CE=,
∴BE=5﹣=.
(3)如圖②中,將△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=∠CBD,
∵∠ABD=2∠BCD,∠BCD+∠CBD=90°,
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°,
∴A、B、F共線,
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°,
∴只有2∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠FCB=∠FAC,∵∠F=∠F,
∴△FCB∽△FAC,
∴CF2=FB•FA,設FB=x,
則有:x(x+7)=122,
∴x=9或﹣16(捨棄),
∴AF=7+9=16,
在Rt△ACF中,AC===20.
【點評】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和*質、“準互餘三角形”的定義等知識,解題的關鍵是理解題意,學會利用翻折變換添加輔助線,構造相似三角形解決問題,學會利用已知模型構建輔助線解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:各地中考
題型:解答題