如圖，拋物線y=x2﹣bx﹣5與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，點C與點F關於拋物線的...

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2﹣bx﹣5與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，點C與點F關於拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸於點E，|OC|：|OA|=5：1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線AF的解析式；

（3）在直線AF上是否存在點P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點座標；若不存在，説明理由．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據拋物線解析式求出OC的長度，再根據比例求出OA的長度，從而得到點A的座標，然後把點A的座標代入拋物線解析式計算求出b，即可得到拋物線解析式；

（2）根據點C、F關於對稱軸對稱可得點F的縱座標與點C的縱座標相等，設出點F的座標為（x0，﹣5），代入拋物線求出點F的橫座標，然後利用待定係數法求直線函數解析式求解即可；

（3）分①點P與點E重合時，△CFP是直角三角形，②CF是斜邊時，過C作CP⊥AF於點P，然後根據點C、E、F的座標求出PC=PF，從而求出點P在拋物線對稱軸上，再根據拋物線的對稱軸求解即可．

【解答】解：（1）∵y=x2﹣bx﹣5，

∴|OC|=5，

∵|OC|：|OA|=5：1，

∴|OA|=1，

即A（﹣1，0），

把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得：

（﹣1）2+b﹣5=0，

解得b=4，

拋物線的解析式為y=x2﹣4x﹣5；

（2）∵點C與點F關於對稱軸對稱，C（0，﹣5），設F（x0，﹣5），

∴x02﹣4x0﹣5=﹣5，

解得x0=0（捨去），或x0=4，

∴F（4，﹣5），

∴對稱軸為直線x=2，

設直線AF的解析式為y=kx+b，

把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，

得，

解得，

所以，直線FA的解析式為y=﹣x﹣1；

（3）存在．

理由如下：①當∠FCP=90°時，點P與點E重合，

∵點E是直線y=﹣x﹣1與y軸的交點，

∴E（0，﹣1），

∴P（0，﹣1），

②當CF是斜邊時，過點C作CP⊥AF於點P（x1，﹣x1﹣1），

∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），

∴CE=CF，

∴EP=PF，

∴CP=PF，

∴點P在拋物線的對稱軸上，

∴x1=2，

把x1=2代入y=﹣x﹣1，得

y=﹣3，

∴P（2，﹣3），

綜上所述，直線AF上存在點P（0，﹣1）或（2，﹣3）使△CFP是直角三角形．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題