如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)過點E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左側),...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)過點E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左側),點C、D在拋物線上,∠BAD的平分線AM交BC於點M,點N是CD的中點,已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)F、G分別為x軸,y軸上的動點,順次連接M、N、G、F構成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長的最小值;
(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點P,使△ODP中OD邊上的高為?若存在,求出點P的座標;若不存在,請説明理由;
(4)矩形ABCD不動,將拋物線向右平移,當平移後的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L,且直線KL平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.
【回答】
【解答】解:(1)∵點A在線段OE上,E(8,0),OA=2
∴A(2,0)
∵OA:AD=1:3
∴AD=3OA=6
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D(2,﹣6)
∵拋物線y=ax2+bx經過點D、E
∴ 解得:
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x
(2)如圖1,作點M關於x軸的對稱點點M',作點N關於y軸的對稱點點N',連接FM'、GN'、M'N'
∵y=x2﹣4x=(x﹣4)2﹣8
∴拋物線對稱軸為直線x=4
∵點C、D在拋物線上,且CD∥x軸,D(2,﹣6)
∴yC=yD=﹣6,即點C、D關於直線x=4對稱
∴xC=4+(4﹣xD)=4+4﹣2=6,即C(6,﹣6)
∴AB=CD=4,B(6,0)
∵AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM=90°
∴∠BAM=45°
∴BM=AB=4
∴M(6,﹣4)
∵點M、M'關於x軸對稱,點F在x軸上
∴M'(6,4),FM=FM'
∵N為CD中點
∴N(4,﹣6)
∵點N、N'關於y軸對稱,點G在y軸上
∴N'(﹣4,﹣6),GN=GN'
∴C四邊形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'
∵當M'、F、G、N'在同一直線上時,N'G+GF+FM'=M'N'最小
∴C四邊形MNGF=MN+M'N'==2+10=12
∴四邊形MNGF周長最小值為12.
(3)存在點P,使△ODP中OD邊上的高為.
過點P作PE∥y軸交直線OD於點E
∵D(2,﹣6)
∴OD=,直線OD解析式為y=﹣3x
設點P座標為(t,t2﹣4t)(0<t<8),則點E(t,﹣3t)
①如圖2,當0<t<2時,點P在點D左側
∴PE=yE﹣yP=﹣3t﹣(t2﹣4t)=﹣t2+t
∴S△ODP=S△OPE+S△DPE=PE•xP+PE•(xD﹣xP)=PE(xP+xD﹣xP)=PE•xD=PE=﹣t2+t
∵△ODP中OD邊上的高h=,
∴S△ODP=OD•h
∴﹣t2+t=×2×
方程無解
②如圖3,當2<t<8時,點P在點D右側
∴PE=yP﹣yE=t2﹣4t﹣(﹣3t)=t2﹣t
∴S△ODP=S△OPE﹣S△DPE=PE•xP﹣PE•(xP﹣xD)=PE(xP﹣xP+xD)=PE•xD=PE=t2﹣t
∴t2﹣t=×2×
解得:t1=﹣4(捨去),t2=6
∴P(6,﹣6)
綜上所述,點P座標為(6,﹣6)滿足使△ODP中OD邊上的高為.
(4)設拋物線向右平移m個單位長度後與矩形ABCD有交點K、L
∵KL平分矩形ABCD的面積
∴K在線段AB上,L在線段CD上,如圖4
∴K(m,0),L(2+m,0)
連接AC,交KL於點H
∵S△ACD=S四邊形ADLK=S矩形ABCD
∴S△AHK=S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH=CH,即點H為AC中點
∴H(4,﹣3)也是KL中點
∴
∴m=3
∴拋物線平移的距離為3個單位長度.
知識點:各地中考
題型:綜合題