已知,四邊形ABCD中,E是對角線AC上一點,DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切於點D,點B在⊙O上,...
問題詳情:
已知,四邊形ABCD中,E是對角線AC上一點,DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切於點D,點B在⊙O上,連接OB.
(1)求*:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求*:BC是⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下,求*:四邊形ABCD是菱形.
【回答】
【解答】解:(1)如圖,連接OD,
∵CD是⊙O的切線,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,
∵DE=EC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠COD,
∴DE=OE;
(2)∵OD=OE,
∴OD=DE=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,
∴∠2=∠1=30°,
∵AB∥CD,
∴∠4=∠1,
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°,
∴∠BOC=∠DOC=60°,
在△CDO與△CBO中,,
∴△CDO≌△CBO(SAS),
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切線;
(3)∵OA=OB=OE,OE=DE=EC,
∴OA=OB=DE=EC,
∵AB∥CD,
∴∠4=∠1,
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°,
∴△ABO≌△CDE(AAS),
∴AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠DAE=∠DOE=30°,
∴∠1=∠DAE,
∴CD=AD,
∴▱ABCD是菱形.
【點評】此題主要考查了切線的*質,同角的餘角相等,等腰三角形的*質,平行四邊形的判定和*質,菱形的判定,判斷出△ABO≌△CDE是解本題的關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題