將一副三角尺按圖1擺放,等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB,與AC相交於點G,.(1)求GC的長;(2...
問題詳情:
將一副三角尺按圖1擺放,等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB,與AC相交於點G,.
(1)求GC的長;
(2)如圖2,將△DEF繞點D順時針旋轉,使直角邊DF經過點C,另一直角邊DE與AC相交於點H,分別過H、C作AB的垂線,垂足分別為M、N,通過觀察,猜想MD與ND的數量關係,並驗*你的猜想.
(3)在(2)的條件下,將△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′,當D′E′恰好經過(1)中的點G時,請直接寫出DD′的長度.
【回答】
(1)2;(2)DM=DN;(3)
【分析】
(1)解直角三角形求出AC、AG即可解決問題;
(2)由直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半,得到CD=BD=AD.再由∠B=60°,得到△BDC為等邊三角形,從而可以*∠HDA=30°,進一步得到 AH=HD,由等腰三角形的*質得到MD=AM,ND=NB.即可得到結論;
(3)如圖3中,作GK∥DE交AB由K.求出AK的值即可解決問題.
【詳解】
(1)如圖1.
在Rt△ABC中,∵BC=2,∠B=60°,∴AC=BC•tan60°=6,AB=2BC=4.
∵DF是線段AB的垂直平分線,∴AD=BD=2.
在Rt△ADG中,AG4,∴CG=AC=AG=6﹣4=2.
(2)如圖2中,結論:DM=DN.
理由:∵△ABC為直角三角形,D為斜邊AB的中點,∴CD=BD=AD.
又∠B=60°,∴△BDC為等邊三角形,∴∠CDB=60°.
又∠EDF=90°,∴∠HDA=30°.
∵∠A=90°﹣∠B=30°,∴AH=HD,又HM⊥AD,∴MD=AM.
在等邊三角形 BCD中,CN⊥BD,∴ND=NB.
又AD=BD,∴MD=ND.
(3)如圖3中,作GK∥DE交AB由K.
在△AGK中,AG=GK=4,∠A=∠GKD=30°,作GH⊥AB於H.
則AH=AG•cos30°=2,可得AK=2AH=4,此時K與B重合,∴DD′=DB=2.
【點睛】
本題考查了幾何變換綜合題、旋轉變換平移變換、鋭角三角函數等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:等腰三角形
題型:解答題