情景觀察:將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開,得到△ABC和△A′C′D,如圖1所示,將將△A′C′D的頂點A...
問題詳情:
情景觀察:將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開,得到△ABC和△A′C′D,如圖1所示,將將△A′C′D的頂點A′與點A重合,並繞點A按逆時針方向旋轉,使點D、A(A′)、B在同一條直線上,如圖2所示.
觀察圖2可知:與BC相等的線段是 ,∠CAC′= °;
問題探究:如圖3,△ABC中,AG⊥BC於點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,過點E、F作*線GA的垂線,垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數量關係,並*你的結論.
拓展延伸:如圖4,△ABC中,AG⊥BC於點G,分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,*線GA交EF於點H,若AB=kAE、AC=kAF,探究HE與HF之間的數量關係,並説明理由.
【回答】
解:觀察圖2即可發現△ABC≌△AC′D,即BC=AD,∠C′AD=∠ACB,
∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°;
故*為:AD,90;
問題探究:FQ=EP,
理由如下:
∵∠FAQ+∠CAG=90°,∠FAQ+∠AFQ=90°,
∴∠AFQ=∠CAG,同理∠ACG=∠FAQ,
又∵AF=AC,
在△AFQ與△CAG中,
,
∴△AFQ≌△CAG(AAS),
∴FQ=AG,
同理EP=AG,
∴FQ=EP;
拓展延伸:HE=HF,
理由:過點E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分別為P、Q,
∵四邊形ABME是矩形,
∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°,
又AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP,
∴AG:EP=AB:EA,
同理△ACG∽△FAQ,
∴AG:FQ=AC:FA,
∵AB=k•AE,AC=k•AF,
∴AB:EA=AC:FA=k,
∴AG:EP=AG:FQ,
∴EP=FQ,
又∵∠EHP=∠FHQ,∠EPH=∠FQH,
在Rt△EPH與Rt△FQH中,
,
∴Rt△EPH≌Rt△FQH(AAS),
∴HE=HF.
知識點:相似三角形
題型:解答題