如圖,在平面直角座標系中,四邊形ABCD的邊AD在x軸上,點C在y軸的負半軸上,直線BC∥AD,且BC=3,O...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,四邊形ABCD的邊AD在x軸上,點C在y軸的負半軸上,直線BC∥AD,且BC=3,OD=2,將經過A、B兩點的直線l:y=﹣2x﹣10向右平移,平移後的直線與x軸交於點E,與直線BC交於點F,設AE的長為t(t≥0).
(1)四邊形ABCD的面積為 ;
(2)設四邊形ABCD被直線l掃過的面積(*影部分)為S,請直接寫出S關於t的函數解析式;
(3)當t=2時,直線EF上有一動點,作PM⊥直線BC於點M,交x軸於點N,將△PMF沿直線EF摺疊得到△PTF,探究:是否存在點P,使點T恰好落在座標軸上?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】(1)根據函數解析式得到OA=5,求得AC=7,得到OC=4,於是得到結論;
(2)①當0≤t≤3時,根據已知條件得到四邊形ABFE是平行四邊形,於是得到S=AE•OC=4t;②當3≤t<7時,如圖1,求得直線CD的解析式為:y=2x﹣4,直線E′F′的解析式為:y=﹣2x+2t﹣10,解方程組得到G(,t﹣7),於是得到S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G=20﹣×(7﹣t)×(7﹣t)=﹣t2+7t﹣,③當t≥7時,S=S四邊形ABCD=20,
(3)當t=2時,點E,F的座標分別為(﹣3,0),(﹣1,﹣4),此時直線EF的解析式為:y=﹣2x﹣6,設動點P的直線為(m,﹣2m﹣6),求得PM=|(﹣2m﹣6)﹣(﹣4)|=2|m+1|,PN=(﹣2m﹣6|=2(m+3|,FM=|m﹣(﹣1)|=|m+1,①假設直線EF上存在點P,使點T恰好落在x軸上,如圖2,連接PT,FT,②假設直線EF上存在點P,使點T恰好落在y軸上,如圖3,連接PT,FT,根據全等三角形的判定*質和相似三角形的判定和*質即可得到結論.
【解答】解:(1)在y=﹣2x﹣10中,當y=0時,x=﹣5,
∴A(﹣5,0),
∴OA=5,
∴AC=7,
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得,y=﹣4
∴OC=4,
∴四邊形ABCD的面積=(3+7)×4=20;
故*為:20;
(2)①當0≤t≤3時,∵BC∥AD,AB∥EF,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴S=AE•OC=4t;
②當3≤t<7時,如圖1,∵C(0,﹣4),D(2,0),
∴直線CD的解析式為:y=2x﹣4,
∵E′F′∥AB,BF′∥AE′
∴BF′=AE=t,
∴F′(t﹣3,﹣4),
直線E′F′的解析式為:y=﹣2x+2t﹣10,
解得,
∴G(,t﹣7),
∴S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G=20﹣×(7﹣t)×(7﹣t)=﹣t2+7t﹣,
③當t≥7時,S=S四邊形ABCD=20,
綜上所述:S關於t的函數解析式為:S=;
(3)當t=2時,點E,F的座標分別為(﹣3,0),(﹣1,﹣4),
此時直線EF的解析式為:y=﹣2x﹣6,
設動點P的直線為(m,﹣2m﹣6),
∵PM⊥直線BC於M,交x軸於n,
∴M(m,﹣4),N(m,0),
∴PM=|(﹣2m﹣6)﹣(﹣4)|=2|m+1|,PN=(﹣2m﹣6|=2(m+3|,FM=|m﹣(﹣1)|=|m+1
①假設直線EF上存在點P,使點T恰好落在x軸上,
如圖2,連接PT,FT,則△PFM≌△PFT,
∴PT=PM=2|m+1|,FT=FM=|m+1|,∴=2,
作FK⊥x軸於K,則KF=4,
由△TKF∽△PNT得, =2,
∴NT=2KF=8,
∵PN2+NT2=PT2,
∴4(m+3)2+82=4(m+1)2,
解得:m=﹣6,∴﹣2m﹣6=﹣6,
此時,P(﹣6,6);
②假設直線EF上存在點P,使點T恰好落在y軸上,
如圖3,連接PT,FT,則△PFM≌△PFT,
∴PT=PM=2|m+1|,FT=FM=|m+1|,
∴=2,
作PH⊥y軸於H,則PH=|m|,
由△TFC∽△PTH得,,
∴HT=2CF=2,
∵HT2+PH2=PT2,
即22+m2=4(m+1)2,
解得:m=﹣,m=0(不合題意,捨去),
∴m=﹣時,﹣2m﹣6=﹣,
∴P(﹣,﹣),
綜上所述:直線EF上存在點P(﹣6,6)或P(﹣,﹣)使點T恰好落在y軸上.
知識點:各地中考
題型:綜合題