如圖,在中,為上一點,以為圓心,長為半徑作圓,與相切於點,過點作交的延長線於點,且. (1)求*:為的切線;...
問題詳情:
如圖,在中,為上一點,以為圓心,長為半徑作圓,與相切於點,過點作交的延長線於點,且.
(1)求*:為的切線;
(2)若, ,求的長.
【回答】
(1)*見解析;(2)
【解析】
(1)作OE⊥AB於點E,*△OBC≌△OBE,根據全等三角形的對應邊相等可得OE=OC, OE是⊙O的半徑 ,OE⊥AB ,即可判定AB為⊙O的切線;
(2)根據題意先求出AO、BO的長,再*△AOD∽△BOC,根據相似三角形對應邊成比例即可求出AD的長.
【詳解】(1)作OE⊥AB於點E,
∵切BC於點C,
∴OC⊥BC,∠ACB=90°,
∵ AD⊥BD,∴∠D=90°,
∴∠ABD+∠BAD =90°,∠CBD+∠BOC=90°,
∵∠BOC=∠AOD,∠AOD=∠BAD,
∴∠BOC=∠BAD,
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中,
∴△OBC≌△OBE,
∴OE=OC,∴OE是⊙O的半徑 ,
∵OE⊥AB ,∴AB為⊙O的切線;
(2) ∵tan∠ABC=,BC=6,
∴AC=8,∴AB= ,
∵BE=BC=6,∴AE=4,
∵∠AOE=∠ABC,∴tan∠AOE= ,∴EO=3,
∴AO=5,OC=3,∴BO=,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD∽△BOC,∴ ,
即 ,∴AD= .
【點睛】本題考查了切線的判定與*質,相似三角形的判定與*質等,熟練掌握相關的判定與*質定理是解題的關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題