如圖1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,D為OB邊上一點,過D點作DC⊥AB交AB於C,連接A...
問題詳情:
如圖1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,D為OB邊上一點,過D點作DC⊥AB交AB於C,連接AD,E為AD的中點,連接OE、CE.
觀察猜想
(1)①OE與CE的數量關係是 ;
②∠OEC與∠OAB的數量關係是 ;
類比探究
(2)將圖1中△BCD繞點B逆時針旋轉45°,如圖2所示,則(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出*;若不成立,請説明理由;
拓展遷移
(3)將△BCD繞點B旋轉任意角度,若BD=,OB=3,請直接寫出點O、C、B在同一條直線上時OE的長.
【回答】
【解答】(1)①如圖1中,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=90°,
∵∠AOD=90°,AE=DE,
∴OE=AD,EC=AD,
∴OE=EC.
②∵EO=EA,EC=EA,
∴∠EAO=∠EOA,∠EAC=∠ECA,
∵∠OED=∠EAO+∠EOA=2∠EAO,∠DEC=∠EAC+∠ECA=2∠EAC,
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠OEC=2(∠OAE+∠EAC)=90°,
∴∠OEC=2∠OAB,
故*為OE=EC,∠OEC=2∠OAB.
(2)結論成立.
理由:如圖2中,延長OE到H,使得EH=OE,連接DH,CH,OC.
由題意△AOB,△BCD都是等腰直角三角形,
∴∠A=∠ABO=∠DBC=∠CDB=45°,
∵AE=ED,∠AEO=∠DEH,OE=EH,
∴△AEO≌△DEH(SAS),
∴AO=DH,∠A=∠EDH=45°,
∴∠CDH=∠OBC=90°,
∵OA=OB,BC=CD,
∴DH=OB,
∴△HDC≌△OBC(SAS),
∴CH=OC,∠HCD=∠OCB,
∴∠HCO=∠DCB=90°,
∴∠COE=∠CHE=45°,
∵OE=EH,
∴CE⊥OE,
∴∠OEC=90°,
∴∠OEC=2∠OAB,OE=EC.
(3)①如圖3﹣1中,當點C落在OB上時,連接EC.
由(1)(2)可知△OEC是等腰直角三角形,
∵BC=BD=1,OB=3,
∴OC=OB﹣BC=3﹣1=2,
∴OE=OC=.
②如圖3﹣2中,當點C落在OB的延長線上時,連接EC.同法可得OE=OC=(3+1)=2,
綜上所述,OE的長為或2.
知識點:圖形的旋轉
題型:綜合題