如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延...

問題詳情：

如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長DC交拋物線於點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO於點G，作PH⊥EO，垂足為H．設PH的長為l，點P的橫座標為m，求l與m的函數關係式（不必寫出m的取值範圍），並求出l的最大值；

(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M，使得以M，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點M的座標；若不存在，請説明理由.

【回答】

解：

(1)∵矩形OBDC的邊CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B兩點座標代入拋物線解析式可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2

(2)在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y=﹣x，

由題意可得P（m，﹣m2﹣m+2），

∵PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∵P在直線OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵直線OE解析式為y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，

∴當m=﹣時，l有最大值，最大值為；

(3)①當AC為平行四邊形的邊時，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設AC交對稱軸於點L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴點M到對稱軸的距離為3，

又y=﹣x2﹣x+2，

∴拋物線對稱軸為x=﹣1，

設M點座標為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

當x=2時，y=﹣，當x=﹣4時，y=，

∴M點座標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②當AC為對角線時，設AC的中點為K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣，1），

∵點N在對稱軸上，

∴點N的橫座標為﹣1，

設M點橫座標為x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時y=2，

∴M（﹣2，2）；

綜上可知點M的座標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

【點評】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定係數法、二次函數的*質、等腰直角三角形的*質、全等三角形的判定和*質、平行四邊形的判定和*質、方程思想及分類討論思想等知識．在(1)中求得A、B的座標是解題的關鍵，在(2)中確定出PG與l的關係是解題的關鍵，在(3)中確定出M的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合*較強，難度適中．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題