.如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交於A(-1,0)、B兩點,與y軸交於點C(0,2),拋物線的對稱軸交...
問題詳情:
.如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交於A(-1,0)、B兩點,與y軸交於點C(0,2),拋物線的對稱軸交x軸於點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求sin∠ABC的值;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,如果存在,直接寫出點P的座標;如果不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)將點A(-1,0),C(0,2)代入拋物線y=-x2+bx+c中得,
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+2;
(2)令y=-x2+x+2=0,
解得x1=-1,x2=4,
∴點B的座標為(4,0),
在Rt△BOC中,BC==2,
∴sin∠ABC==;
(3)存在,點P座標為(,)或(,-)或(,4).
【解法提示】由拋物線y=-x2+x+2得對稱軸為直線x=,
∴點D的座標為(,0).
∴CD==.
∵點P在對稱軸x=上,且△PCD是以CD為腰的等腰三角形,
∴當點D為頂點時,有DP=CD=,
此時點P的座標為(,)或(,-);
當點C為頂點時,如解圖,連接CP,則CP=CD,過點C作CG⊥DP於點G,則DG=PG,
第1題解圖
∵DG=2,
∴PG=2,PD=4,
∴點P的座標為(,4).
綜上,存在點P使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,點P的座標為(,)或(,-)或(,4).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題