已知函數.（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當時，求*：；（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（...
問題詳情：
已知函數
.
（Ⅰ）求曲線
的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）當
時，求*：
；
（Ⅲ）設
，記
在區間
上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．
【回答】
（Ⅰ）
和
.
（Ⅱ）見解析；
（Ⅲ）
.
【分析】
(Ⅰ)首先求解導函數，然後利用導函數求得切點的橫座標，據此求得切點座標即可確定切線方程；
(Ⅱ)由題意分別*得
和
即可*得題中的結論；
(Ⅲ)由題意結合(Ⅱ)中的結論分類討論即可求得a的值.
【詳解】
（Ⅰ）
，令
得
或者
.
當
時，
，此時切線方程為
，即
；
當
時，
，此時切線方程為
，即
；
綜上可得所求切線方程為
和
.
（Ⅱ）設
，
，令
得
或者
，所以當
時，
，
為增函數；當
時，
，
為減函數；當
時，
，
為增函數；
而
，所以
，即
；
同理令
，可求其最小值為
，所以
，即
，綜上可得
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
，
所以
是
中的較大者，
若
，即
時，
；
若
，即
時，
；
所以當
最小時，
，此時
.
【點睛】
本題主要考查利用導函數研究函數的切線方程，利用導函數*不等式的方法，分類討論的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
