如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，，直線與平面所成的角等於．（1）*：平面平面；（2）求二面角的餘...

問題詳情：

如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，，直線與平面所成的角等於．

（1）*：平面平面；

（2）求二面角的餘弦值．

【回答】

【詳解】（Ⅰ）在中，是斜邊的中點，

所以.

因為是的中點，

所以，且，

所以，

所以.

又因為，

所以，

又，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）方法一：取中點，連，則，

因為，

所以.

又因為，，

所以平面，

所以平面．

因此是直線與平面所成的角．

故，

所以.

過點作於，則平面，

且．

過點作於，連接，

則為二面角的平面角．

因為，

所以，

所以，

因此二面角的餘弦值為．

方法二：

如圖所示，在平面BCD中，作x軸⊥BD，以B為座標原點，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角座標系．

因為 (同方法一,過程略)

則，,．

所以,,，

設平面的法向量，

則，即，取,得．

設平面的法向量

則，即，取,得．

所以，

由圖形得二面角為鋭角，

因此二面角的餘弦值為．

【點睛】利用幾何法求空間角的步驟為“作、*、求”，將所求角轉化為解三角形的問題求解，注意計算和*的交替運用．利用空間向量求空間角時首先要建立適當的座標系，通過求出兩個向量的夾角來求出空間角，此時需要注意向量的夾角與空間角的關係．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題