已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為(2,5),且與y軸交於點C(0,1).(Ⅰ)求拋物線的表達式;(Ⅱ)若...
問題詳情:
已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為(2,5),且與y軸交於點C(0,1). (Ⅰ)求拋物線的表達式; (Ⅱ)若-1≤x≤3,試求y的取值範圍; (Ⅲ)若M(n2-4n+6,y1)和N(-n2+n+,y2)是拋物線上的不重合的兩點,試判斷y1與y2的大小,並説明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點為(2,5), ∴設拋物線的表達式為:y=a(x-2)2+5, 把(0,1)代入得:a(0-2)2+5=1, a=-1, ∴拋物線的表達式為:y=-(x-2)2+5=-x2+4x+1; (Ⅱ)∵拋物線的頂點為(2,5),a=-1,對稱軸為直線x=2,且-1≤x≤3,
∴當x=-1時,y有最小值,最小值為y=-(-1-2)2+5=-4,
當x=2時,y有最大值,最大值為y=5, ∴y的取值範圍是-4≤y≤5; (Ⅲ)∵n2-4n+6=(n-2)2+2≥2,-n2+n+=-(n-)2+2≤2,
∴點M在拋物線對稱軸右側,點N在拋物線對稱軸左側, ∵N(-n2+n+,y2),
∴點N關於對稱軸對稱的點座標為(n2-n+,y2),
∵在拋物線對稱軸右側,y隨x的增大而減小,
∴①當n2-4n+6>n2-n+時,即n<時,y1<y2;
②當n2-4n+6=n2-n+時,即n=時,y1=y2;
③當n2-4n+6<n2-n+時,即n>時,y1>y2.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題