如圖,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC,BC相切於點E,F,與...
問題詳情:
如圖,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC,BC相切於點E,F,與AB分別交於點G,H,且EH的延長線和CB的延長線交於點D,則CD的長為________.
【回答】
a 【考點】切線的*質 【解析】【解答】解:如圖,連接OE、OF, ∵由切線的*質可得OE=OF=⊙O的半徑,∠OEC=∠OFC=∠C=90°, ∴OECF是正方形, ∵由△ABC的面積可知 ×AC×BC= ×AC×OE+ ×BC×OF, ∴OE=OF= a=EC=CF,BF=BC﹣CF=0.5a,GH=2OE=a, ∵由切割線定理可得BF2=BH•BG, ∴ a2=BH(BH+a), ∴BH= a或BH= a(捨去), ∵OE∥DB,OE=OH, ∴△OEH∽△BDH, ∴ = , ∴BH=BD,CD=BC+BD=a+ a= a. 故*為: a. 【分析】連接OE、OF,由切線的*質結合結合直角三角形可得到正方形OECF,並且可求出⊙O的半徑為0.5a,則BF=a﹣0.5a=0.5a,再由切割線定理可得BF2=BH•BG,利用方程即可求出BH,然後又因OE∥DB,OE=OH,利用相似三角形的*質即可求出BH=BD,最終由CD=BC+BD,即可求出*.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:填空題