已知橢圓的離心率爲,橢圓上的點到右焦點F的最近距離爲2,若橢圓C與x軸交於A、B兩點,M是橢圓C上異於A...
問題詳情:
已知橢圓的離心率爲,橢圓上的點到右焦點F的最近距離爲2,若橢圓C與x軸交於A、B兩點,M是橢圓C上異於A、B的任意一點,直線MA交直線於G點,直線MB交直線於H點。
(1)求橢圓C的方程;
(2)試探求以GH爲直徑的圓是否恆經過x軸上的定點?若經過,求出定點的座標;若不經過,請說明理由。
【回答】
解(Ⅰ)由題意得
.
橢圓的方程爲: ……………………………………………………4分
(Ⅱ)記直線、的斜率分別爲、,設的座標分別爲,,,.
在橢圓上,所以,,
設,則,.
,又.
.……………………………………………………………8分
因爲的中點爲,,所以,以爲直徑的圓的方程爲:.
令,得,
,將兩點代入檢驗恆成立.
所以,以爲直徑的圓恆過軸上的定點
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題