如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別爲邊AB、BC的中點,連結DE...
問題詳情:
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別爲邊AB、BC的中點,連結DE,點P從點A出發,沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC於點Q,以PQ爲邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設點P的運動時間爲t(s).
(1)當點P在線段DE上運動時,線段DP的長爲______cm,(用含t的代數式表示).
(2)當點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形爲五邊形時,設五邊形的面積爲S(cm²),求S與t的函數關係式.
(4)連結CD.當點N於點D重合時,有一點H從點M出發,在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續做往返運動,直至點P與點E重合時,點H停止往返運動;當點P在線段EB上運動時,點H始終在線段MN的中心處.直接寫出在點P的整個運動過程中,點H落在線段CD上時t的取值範圍.
【回答】
(1)t-2(2)t=4或t=(3)(4)t=或t=5或
6≤t≤8。
【解析】解:(1)t-2。
(2)當點N落在AB邊上時,有兩種情況:
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形爲五邊形時,有兩種情況:
①當2<t<4時,如圖(3)a所示。
DP=t-2,PQ=2,∴CQ=PE=DE-DP=4-(t-2)=6-t,AQ=AC-CQ=2+t,AM=AQ-MQ=t。
∵MN∥BC,∴△AFM∽△ABC。∴FM:BC = AM:AC=1:2,即FM:AM=BC:AC=1:2。
∴FM=AM=t.
∴
。
②當<t<8時,如圖(3)b所示。
PE=t-6,∴PC=CM=PE+CE=t-4,AM=AC-CM=12-t,PB=BE-PE=8-t,
∴FM=AM=6-t,PG=2PB=16-2t,
∴
。
綜上所述,S與t的關係式爲:。
(4)在點P的整個運動過程中,點H落在線段CD上時t的取值範圍是:t=或t=5或
6≤t≤8。
(4)本問涉及雙點的運動,首先需要正確理解題意,然後弄清點H、點P的運動過程:
依題意,點H與點P的運動分爲兩個階段,如下圖所示:
①當4<t<6時,此時點P在線段DE上運動,如圖(4)a所示。
此階段點P運動時間爲2s,因此點H運動距離爲2.5×2=5cm,而MN=2,
則此階段中,點H將有兩次機會落在線段CD上:
第一次:此時點H由M→H運動時間爲(t-4)s,運動距離MH=2.5(t-4),
∴NH=2-MH=12-2.5t。
又DP=t-2,DN=DP-2=t-4,
由DN=2NH得到:t-4=2(12-2.5t),解得t=。
綜上所述,在點P的整個運動過程中,點H落在線段CD上時t的取值範圍是:t=或t=5或6≤t≤8。
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題