已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD於點H,交AB於點G,E爲AB上一點,連接CE交A...
問題詳情:
已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD於點H,交AB於點G,E爲AB上一點,連接CE交AD於點F.
(1)如圖1,若CE⊥AB於點E,HG=1,CH=5,求CF的長;
(2)如圖2,若AC=AE,∠GEH=∠ECH,求*:CE=HE;
(3)如圖3,若E爲AB的中點,作A關於CE的對稱點A′,連接CA′,EA′,DA′,請直接寫出∠CEH,∠A′CD,∠EA′D之間的等量關係.
【回答】
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CA=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=∠CDA=45°,
∵CG⊥AD,
∴∠CHF=∠AHG=90°,∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°,AH=DH=CH=5,
∴∠GAH+∠AGC=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEG=90°,
∴∠GCE+∠AGC=90°,
∴∠GCE=∠GAH,
在△CHF與△AHG中,,
∴△CHF≌△AHG,
∴HF=HG=1,
∴CF===;
(2)如圖2,過H作MH⊥EH,交CE於M,連接AM,
∵AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE,
∵∠GEH=∠ECG,
∵MH⊥EH,
∴△EHM爲等腰直角三角形,∠EHM=90°,
∴EH=MH,EM=HE,
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE,
在△AHM與△CHE中,,
∴△AHM≌△CHE,
∴∠MAF=∠ECH,
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°,
∴∠CHD=180°﹣90°,
∴AM⊥CE,
∵AC=AE,
∴△ACE是等腰三角形,
∴CM=EM=HE,
∴CE=2EM=2HE;
(3)∵H爲AD的中點,E我AB的中點,
∴EH是△ABD的中位線,
∴EH∥BC,
∴∠CEH=∠BCE,
∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH,
∵EC=AE,
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,
∵A關於CE的對稱點A′,
∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH,CA=CA′,
∵CA=CD,
∴CA′=CD,
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D,
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°,
∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°,
化簡得:∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH,
知識點:勾股定理
題型:綜合題