設點A、B是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點O以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足爲M，...

問題詳情：

設點A、B是拋物線y2＝4px (p>0)上除原點O以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足爲M，求點M的軌跡方程，並說明它表示什麼曲線？

【回答】

解　設直線OA的方程爲y＝kx (k≠±1，因爲當k＝±1時，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程爲y＝－，

進而可求A、B(4pk2，－4pk)．

於是直線AB的斜率爲kAB＝，

從而kOM＝，

∴直線OM的方程爲y＝x，①

直線AB的方程爲y＋4pk＝ (x－4pk2)．②

將①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，

即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③

又k2x－ky＝x，代入③式並化簡，

得(x－2p)2＋y2＝4p2.

當k＝±1時，易求得直線AB的方程爲x＝4p.

故此時點M的座標爲(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上．

∴點M的軌跡方程爲(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，

∴其軌跡是以(2p,0)爲圓心，半徑爲2p的圓，去掉座標原點．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題