已知函數f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然對數的底數，a∈R.(1)若a＝1，求曲線f(x)在點(...

問題詳情：

已知函數f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然對數的底數，a∈R.

(1)若a＝1，求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．

(2)若a＝－1，求f(x)的單調區間．

【回答】

[解]　f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.

(1)若a＝1，則f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，

所以f′(1)＝4e，f(1)＝e.

所以曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程爲y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)若a＝－1，則f′(x)＝－(x＋1)xex.

令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.

當x∈(－∞，－1)時，f′(x)＜0；

當x∈(－1,0)時，f′(x)＞0；

當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＜0；

所以f(x)的增區間爲(－1,0)，減區間爲(－∞，－1)和(0，＋∞)．

知識點：導數及其應用

題型：解答題