已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x<0時,f(x)=ex(x+1),給出下列命題:①當x>0時,f(x...
問題詳情:
已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x<0時,f(x)=ex(x+1),給出下列命題:
①當x>0時,f(x)=﹣e﹣x(x﹣1);
②函數f(x)有2個零點;
③f(x)<0的解集爲(﹣∞,﹣1)∪(0,1),
④∀x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|<2.其中正確命題的個數是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【回答】
C【考點】3L:函數奇偶*的*質.
【分析】①根據f(x)爲奇函數,可設x>0,從而有﹣x<0,從而可求出f(x)=e﹣x(x﹣1),
②從而可看出﹣1,1,0都是f(x)的零點,這便得出①②錯誤,
③而由f(x)解析式便可解出f(x)<0的解集,從而判斷出③的正誤,
④可分別對x<0和x>0時的f(x)求導數,根據導數符號可判斷f(x)的單調*,根據單調*即可求出f(x)的值域,這樣便可得出∀x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|<2.
【解答】解:①f(x)爲R上的奇函數,設x>0,﹣x<0,則:f(﹣x)=e﹣x(﹣x+1)=﹣f(x);
∴f(x)=e﹣x(x﹣1);
∴故①錯誤,
②∵f(﹣1)=0,f(1)=0;
又f(0)=0;
∴f(x)有3個零點;
故②錯誤,
③當x<0時,由f(x)=ex(x+1)<0,得x+1<0;
即x<﹣1,
當x>0時,由f(x)=e﹣x(x﹣1)<0,得x﹣1<0;
得0<x<1,
∴f(x)<0的解集爲(0,1)∪(﹣∞,﹣1);
故③正確,
④當x<0時,f′(x)=ex(x+2);
∴x<﹣2時,f′(x)<0,﹣2<x<0時,f′(x)>0;
∴f(x)在(﹣∞,0)上單調遞減,在(﹣2,0)上單調遞增;
∴x=﹣2時,f(x)取最小值﹣e﹣2,且x<﹣2時,f(x)<0;
∴f(x)<f(0)=1;
即﹣e﹣2<f(x)<1;
當x>0時,f′(x)=e﹣x(2﹣x);
∴f(x)在(0,2)上單調遞增,在(2,+∞)上單調遞減;
x=2時,f(x)取最大值e﹣2,且x>2時,f(x)>0;
∴f(x)>f(0)=﹣1;
∴﹣1<f(x)≤e﹣2;
∴f(x)的值域爲(﹣1,e﹣2]∪[﹣e﹣2,1);
∴∀x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|<2;
故④正確,
∴正確的命題爲③④.
故選:C
知識點:函數的應用
題型:選擇題