已知數列{an}滿足an+1=λan+2n(n∈N*,λ∈R),且a1=2.(1)若λ=1,求數列{an}的通...
問題詳情:
已知數列{an}滿足an+1=λan+2n(n∈N*,λ∈R),且a1=2.
(1)若λ=1,求數列{an}的通項公式;
(2)若λ=2,*數列{}是等差數列,並求數列{an}的前n項和Sn.
【回答】
【考點】8H:數列遞推式;8E:數列的求和.
【分析】(1)當λ=1時,,由此利用累加法能求出數列{an}的通項公式.
(2)當λ=2時, =,再由,能*數列{}是首項爲1,公差爲的等差數列,從而an=()•2n=(n+1)•2n﹣1,由此利用錯位相減法能出數列{an}的前n項和.
【解答】解:(1)當λ=1時,an+1=an+2n(n∈N*),且a1=2.
∴,
∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1
=2+2+22+…+2n﹣1
=2+
=2n.
*:(2)當λ=2時,an+1=2an+2n(n∈N*),且a1=2.
∴,即=,
∵,∴數列{}是首項爲1,公差爲的等差數列,
∴=,
∴an=()•2n=(n+1)•2n﹣1,
∴數列{an}的前n項和:
Sn=2•20+3•2+4•22+…+(n+1)•2n﹣1,①
2Sn=2•2+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,②
②﹣①,得:
Sn=(n+1)•2n﹣2﹣(2+22+23+…+2n﹣1)
=(n+1)•2n﹣2﹣
=(n+1)•2n﹣2﹣2n+2
=n•2n.
知識點:數列
題型:解答題