如圖1,在等邊△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接BE,CD, 點M、N、P分...
問題詳情:
如圖1,在等邊△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接BE,CD, 點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點.
(1)觀察猜想:圖1中,△PMN的形狀是 ;
(2)探究*:把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置,△PMN的形狀是否
發生改變?並說明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE繞點A在平面內自由旋轉,若AD=1,AB=3,請直接寫出
△PMN的周長的最大值.
【回答】
解:(1)如圖1,∵△ABC爲等邊三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,
∵AD=AE,∴BD=CE,∵點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點.
∴PM∥CE,PM=CE,PN∥BD,PN=BD,
∴PM=PN,∠BPM=∠BCA=60°,∠CPN=∠CBA=60°,
∴∠MPN=60°,∴△PMN爲等邊三角形;
故*爲等邊三角形;
(2)△PMN的形狀不發生改變,
仍然爲等邊三角形.理由如下:
連接CE、BD,如圖2,
∵AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°,
∴把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△ACE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
與(1)一樣可得PM∥CE,PM=CE,PN∥BD,PN=BD,∴PM=PN,
∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD,∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠BCE=∠ABC
-∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°,
∴∠MPN=60°,∴△PMN爲等邊三角形.
(3)∵PN=BD,∴當BD的值最大時,PN的值最大,
∵AB-AD≤BD≤AB+AD(當且僅當點B、A、D共線時取等號)
∴BD的最大值爲1+3=4,∴PN的最大值爲2,∴△PMN周長的最大值爲6.
知識點:圖形的旋轉
題型:解答題