將紙片△ABC沿AD摺疊，使點C剛好落在AB邊上的E處，展開如圖1．[*作觀察]（1）如圖2，作DF⊥AC，垂...

問題詳情：

將紙片△ABC沿AD摺疊，使點C剛好落在AB邊上的E處，展開如圖1．

[*作觀察]（1）如圖2，作DF⊥AC，垂足爲F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，則AB=　   　；

[理解應用]（2）①如圖3，設G爲AC上一點（與A、C）不重合，P是AD上一個動點，連接PG、PC．試說明：PG+PC與EG大小關係；

②連接EC，若∠BAC=60°，G爲AC中點，且AC=6，求EC長

[拓展延伸]（3）請根據前面的解題經驗，解決下面問題：

如圖4，在平面直角座標系中有A（1，4），B（3，﹣2），點P是x軸上的動點，連接AP、BP，當AP﹣BP的值最大時，請在圖中標出P點的位置，並直接寫出此時P點的座標爲　   　，AP﹣BP的最大值爲　   　．

【回答】

【解答】解：【*作觀察】解：∵將紙片△ABC沿AD摺疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，

∴AD爲∠BAC的角平分線，

∴點D到AB和點D到AC的距離相等．

∴S△ABC=AB•DF+•AC•DF=21，

∴•AB•3+×6×3=21，

∴AB=8

故*爲：8．

【理解運用】①結論：PG+PC≥EG．

理由：連接PE，如圖3所示．

∵將紙片△ABC沿AD摺疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，

∴AD爲∠BAC的角平分線，AE=AC，

∴PE=PC，

在△PEG中，PE+PG≥EG，

∴PC+PG≥EG．

②連接EC，如圖3中．

∵AE=AC，∠BAC=60°，

∴△AEC爲等邊三角形，

又∵AC=6，

∴EC=AC=6．

【拓展提高】解：作點B關於x軸的對稱點B′，連接AB′、PB′，延長AB′交x軸於點P′，如圖4所示．

∵點B和B′關於x軸對稱，

∴PB=PB′，P′B′=P′B，

∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，

∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB，

∴當點P與點P′重合時，AP﹣BP最大．

設直線AB′的解析式爲y=kx+b，

∵點B（3，﹣2），

∴點B′（3，2），AB′==2．

將點A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴直線AB′的解析式爲y=﹣x+5．

令y=﹣x+5中y=0，則﹣x+5=0，

解得：x=5，

∴點P′（5，0）．

故AP﹣BP的最大值爲2，此時P點的座標爲（5，0）．

故*爲（5，0），2．

知識點：畫軸對稱圖形

題型：解答題