如图,P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF.给出以下4...
问题详情:
如图,P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF.给出以下4个结论:
①△FPD是等腰直角三角形;
②AP=EF;
③AD=PD;
④∠PFE=∠BAP.
其中,所有正确的结论是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
【回答】
C【考点】四边形综合题.
【分析】用正方形的*质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形,从而判定②正确;
直接用正方形的*质和垂直得出①正确,
利用全等三角形和矩形的*质得出④正确,
由点P是正方形对角线上任意一点,说明AD和PD不一定相等,得出③错误.
【解答】解:如图,
∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,
∴PA=PC,∠C=90°,
∵过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD,
∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,
∴PA=EF,故②正确,
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°,
∵∠PFC=∠C=90°,
∴PF∥BC,
∴∠DPF=45°,
∵∠DFP=90°,
∴△FPD是等腰直角三角形,故①正确,
在△PAB和△PCB中,
,
∴△PAB≌△PCB,
∴∠BAP=∠BCP,
在矩形PECF中,∠PFE=∠FPC=∠BCP,
∴∠PFE=∠BAP.故④正确,
∵点P是正方形对角线BD上任意一点,
∴AD不一定等于PD,
只有∠BAP=22.5°时,AD=PD,故③错误,
故选C
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的*质,矩形的判定和*质,全等三角形的判定和*质,垂直的定义,解本题的关键是判断出四边形PECF是矩形.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题