已知函数f(x)=1﹣,x∈(b﹣3,2b)是奇函数.(1)求a,b的值;(2)*:f(x)是区间(b﹣3,...
问题详情:
已知函数f(x)=1﹣,x∈(b﹣3,2b)是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)*:f(x)是区间(b﹣3,2b)上的减函数;
(3)若f(m﹣1)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.
【回答】
【考点】函数奇偶*的判断.
【专题】计算题;函数的*质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)由于函数f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则f(0)=0,定义域关于原点对称,列出方程,即可得到a,b;
(2)运用单调*的定义,注意作差、变形,同时运用指数函数的单调*,即可判断符号,得到结论成立;
(3)运用奇函数的定义和函数f(x)是区间(﹣2,2)上的减函数,得到不等式组,注意定义域的运用,解出它们即可得到范围.
【解答】(1)解:∵函数,x∈(b﹣3,2b)是奇函数,
∴,且b﹣3+2b=0,
即a=2,b=1.
(2)*:由( I)得,x∈(﹣2,2),
设任意 x1,x2∈(﹣2,2)且x1<x2,
∴,
∵x1<x2∴∴
又∵
∴,∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)是区间(﹣2,2)上的减函数.
(3)解:∵f(m﹣1)+f(2m+1)>0,
∴f(m﹣1)>﹣f(2m+1)
∵f(x)奇函数∴f(m﹣1)>f(﹣2m﹣1)
∵f(x)是区间(﹣2,2)上的减函数
∴即有
∴﹣1<m<0,
则实数m的取值范围是(﹣1,0).
【点评】本题考查函数的*质和运用,考查函数的奇偶*和单调*的定义和判断,以及运用解不等式,注意定义域,考查运算能力,属于中档题和易错题.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题