如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P...
问题详情:
如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求*:AD2=DP•PC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
【回答】
(1)*见解析;(2)四边形PMBN是菱形,理由见解析;(3)
【解析】
(1)过点P作PG⊥AB于点G,易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,所以AD=PG,DP=AG,GB=PC,易*△APG∽△PBG,所以PG2=AG•GB,即AD2=DP•PC;
(2)DP∥AB,所以∠DPA=∠PAM,由题意可知:∠DPA=∠APM,所以∠PAM=∠APM,由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,即∠ABP=∠MPB,从而可知PM=MB=AM,又易*四边形PMBN是平行四边形,所以四边形PMBN是菱形;
(3)由于,可设DP=k,AD=2k,由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,从而求出GB=PC=4k,AB=AG+GB=5k,由于CP∥AB,从而可*△PCF∽△BAF,△PCE∽△MAE,从而可得,,从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,从而可得.
【详解】
解:(1)过点P作PG⊥AB于点G,
∴易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,
∴AD=PG,DP=AG,GB=PC
∵∠APB=90°,
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°,
∴∠APG=∠PBG,
∴△APG∽△PBG,
∴,
∴PG2=AG•GB,
即AD2=DP•PC;
(2)∵DP∥AB,
∴∠DPA=∠PAM,
由题意可知:∠DPA=∠APM,
∴∠PAM=∠APM,
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM,PM=MB,
∴PM=MB,
又易*四边形PMBN是平行四边形,
∴四边形PMBN是菱形;
(3)由于,
可设DP=k,AD=2k,
由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,
∵PG2=AG•GB,
∴4k2=k•GB,
∴GB=PC=4k,
AB=AG+GB=5k,
∵CP∥AB,
∴△PCF∽△BAF,
∴,
∴,
又易*:△PCE∽△MAE,AM=AB=,
∴
∴,
∴EF=AF-AE=AC-AC=AC,
∴.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题,涉及相似三角形的*质与判定,菱形的判定,直角三角形斜边上的中线的*质等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题