已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,...

问题详情：

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求线段MN的长度的最小值.

【回答】

解:(1)如图,由题意得椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),

即a=2,b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)直线AS的斜率显然存在且不为0,

设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0),解得M(,),

且将直线方程代入椭圆C的方程,

得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.

设S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)·x1=.

由此得x1=,y1=,

即S(,).

又B(2,0),则直线BS的方程为y=-(x-2),

联立直线BS与l的方程解得N(,-).

∴MN=+=+≥2=.

当且仅当=,即k=时等号成立,

故当k=时,线段MN的长度的最小值为.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题