杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书...

问题详情：

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则___ .

【回答】

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【解析】

将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得*。

【详解】

将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：

使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，

设位于第，则，所以，，

且第行最后一项在数列中的项数为，

所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，

第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，

因此，

         ，故*为：。

【点睛】

本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论*能力与计算能力，属于难题。

知识点：计数原理

题型：填空题