如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).(1)...
问题详情:
如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探究:在(2)的情况下,当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由.
【回答】
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)将点E坐标(﹣8,0)代入直线y=kx+6就可以求出k值,从而求出直线的解析式;
(2)由点A的坐标为(﹣6,0)可以求出OA=6,求△OPA的面积时,可看作以OA为底边,高是P点的纵坐标的绝对值.再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA.从而求出其关系式;根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围.
(3)根据△OPA的面积为代入(2)的解析式求出x的值,再求出y的值就可以求出P点的位置.
【解答】解:(1)∵点E(﹣8,0)在直线y=kx+6上,
∴0=﹣8k+6,
∴k=;
(2)∵k=,
∴直线的解析式为:y=x+6,
∵P点在y=x+6上,设P(x, x+6),
∴△OPA以OA为底的边上的高是|x+6|,
当点P在第二象限时,|x+6|=x+6,
∵点A的坐标为(﹣6,0),
∴OA=6.
∴S==x+18.
∵P点在第二象限,
∴﹣8<x<0;
(3)设点P(m,n)时,其面积S=,
则,
解得|n|=,
则n1=或者n2=﹣(舍去),
当n=时, =m+6,
则m=﹣,
故P(﹣,)时,三角形OPA的面积为.
【点评】本题是一道一次函数的综合试题,考查了利用待定系数法求函数的解析式,三角形面积公式的运用以及点的坐标的求法,在解答中画出函数图象和求出函数的解析式是关键.
知识点:一次函数
题型:解答题