某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与...

问题详情：

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

【回答】

解：(1)设商品降价x元，则多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意，有

f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．

又由已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，

所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．

(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).

故x＝12时，f(x)达到极大值，因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大．

知识点：导数及其应用

题型：解答题