情景观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示,将将△A′C′D的顶点A...
问题详情:
情景观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示,将将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.
观察图2可知:与BC相等的线段是 ,∠CAC′= °;
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作*线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并*你的结论.
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,*线GA交EF于点H,若AB=kAE、AC=kAF,探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
【回答】
解:观察图2即可发现△ABC≌△AC′D,即BC=AD,∠C′AD=∠ACB,
∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°;
故*为:AD,90;
问题探究:FQ=EP,
理由如下:
∵∠FAQ+∠CAG=90°,∠FAQ+∠AFQ=90°,
∴∠AFQ=∠CAG,同理∠ACG=∠FAQ,
又∵AF=AC,
在△AFQ与△CAG中,
,
∴△AFQ≌△CAG(AAS),
∴FQ=AG,
同理EP=AG,
∴FQ=EP;
拓展延伸:HE=HF,
理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q,
∵四边形ABME是矩形,
∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°,
又AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP,
∴AG:EP=AB:EA,
同理△ACG∽△FAQ,
∴AG:FQ=AC:FA,
∵AB=k•AE,AC=k•AF,
∴AB:EA=AC:FA=k,
∴AG:EP=AG:FQ,
∴EP=FQ,
又∵∠EHP=∠FHQ,∠EPH=∠FQH,
在Rt△EPH与Rt△FQH中,
,
∴Rt△EPH≌Rt△FQH(AAS),
∴HE=HF.
知识点:相似三角形
题型:解答题