如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如:16=52﹣32,16就是一个智慧数...
问题详情:
如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如:16=52﹣32,16就是一个智慧数,小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索:
小明的方法是一个一个找出来的:
0=02﹣02,1=12﹣02,3=22﹣12,
4=22﹣02,5=32﹣22,7=42﹣32,
8=32﹣12,9=52﹣42,11=62﹣52,…
小王认为小明的方法太麻烦,他想到:
设k是自然数,由于(k+1)2﹣k2=(k+1+k)(k+1﹣k)=2k+1.
所以,自然数中所有奇数都是智慧数.
问题:
(1)根据上述方法,自然数中第12个智慧数是 ;
(2)他们发现0,4,8是智慧数,由此猜测4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数,请你参考小王的办法*4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数;
(3)他们还发现2,6,10都不是智慧数,由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数,请利用所学的知识判断26是否是智慧数,并说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)继续小明的方法,12=42﹣22,13=72﹣62,15=82﹣72,
即第12个智慧数是15.
(2)设k是自然数,由于(k+2)2﹣k2=(k+2+k)(k+2﹣k)=4k+4=4(k+1).
所以,4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数.
(3)4k+2=2(2k+1)
=2[(k+1)2﹣k2]
=[(k+1)]2﹣(k)2
∵(k+1)、k均不是自然数,
∴4k+2不是智慧数,
令4k+2=26,解得:k=6.
故26不是智慧数
故*为:(1)15.
知识点:乘法公式
题型:综合题