在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线AC,BD的交点.(1)如图①,延长OC到E,使CE=OC,作正方形O...
问题详情：
在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线AC,BD的交点.
(1)如图①,延长OC到E,使CE=OC,作正方形OEFG,顶点G在OD的延长线上,连接DE,AG.求*:DE=AG.
(2)如图②,将问题(1)中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α(0°<α<180°),得到正方形OE'F'G',连接AE',E'G'.
①当α=30°时,求点A到E'G'的距离;
②在旋转过程中,求△AE'G'面积的最小值,并求此时的旋转角α.
【回答】
解:(1)*:∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD.
∴∠AOG=∠DOE=90°.
∵四边形OEFG是正方形,∴OG=OE.
∴△AOG≌△DOE,∴AG=DE.
(2)①方法一:如图,过点E'作E'M⊥AC交AC延长线于点M,过点A作AN⊥G'E'于点N,则∠E'MO=90°.
∵正方形ABCD,∴OA=OC=
AB=2
.
∵正方形OEFG绕着点O逆时针旋转α(0°<α<180°)得到正方形OE'F'G',
∴∠MOE'=α=30°,∠G'OE'=90°.
∴∠OE'M=90°-∠MOE'=60°.
又∠AOG'=∠AOD-α=60°,
∴∠AOG'=∠OE'M,
∵OE'=OE=2OC=4
,
∴OG'=OE'=4
,
∴G'E'=
=8.
∵ME'=
OE'=2
=OA.
∴△AOG'≌△ME'O.∴∠OAG'=∠E'MO=90°.
∴AG'=OM=OA·tan∠AOG'=2
.
∴AM=OA+OM=2
+2
.
∵△AG'E'中,
AG'·AM=
E'G'·AN,
∴AN=
=3+
.
∴点A到E'G'的距离为3+
.
方法二:如图,过点E'作E'M⊥AC交AC延长线于点M,过点A作AN⊥G'E'于点N,在AN上取点P,使得AP=G'P,则∠E'MO=90°.
∵正方形ABCD,∴OA=OC=
AB=2
.
∵正方形OEFG绕着点O逆时针旋转α(0°<α<180°)得到正方形OE'F'G'
∴∠MOE'=α=30°,∠G'OE'=90°.
∴∠OE'M=90°-∠MOE'=60°.
又∠AOG'=∠AOD-α=60°,
∴∠AOG'=∠OE'M.
∵OE'=OE=2OC=4
,
∴OG'=OE'=4
,
∴G'E'=
=8.
∴ME'=
OE'=2
=OA.
∴△AOG'≌△ME'O.
∴∠AG'O=∠MOE'=30°,∠OAG'=∠E'MO=90°.
∴AG'=OA·tan∠AOG'=2
.
在正方形OE'F'G'中,∠OG'E'=45°.
∴∠AG'E'=∠AG'O+∠OG'E'=75°.
∴∠NAG'=90°-∠AG'E'=15°.
∵AP=G'P,
∴∠AG'P=∠NAG'=15°.
∴∠PG'N=∠AG'E'-∠AG'P=60°.
设G'N=x,则PN=G'N·tan∠PG'N=
x,
AP=G'P=
=2x.
∴AN=AP+PN=(2+
)x.
在Rt△ANG'中,AN2+NG'2=AG'2,
即[(2+
)x]2+x2=(2
)2,
x2=12-6
,x2=9-6
+3,x2=(3-
)2,
x1=3-
,x2=-3+
(舍去),
∴AN=(2+
)x=3+
.
∴点A到E'G'的距离为3+
.
②由旋转知,G',E'在以O为圆心,OG'为半径的☉O上,G'E'为定长,且OG'=2OC=4
,G'E'=
OG'=8.
∴当OA⊥G'E'时,S△AE'G'最小.
此时OA的延长线与G'E'相交于点H,且OH⊥G'E',
∴OH=
G'E'=4.
∴AH=OH-OA=4-2
.
∴S△AE'G'=
E'G'·AH=16-8
.
此时α=∠HOG'+∠AOD=135°.
知识点：特殊的平行四边形
题型：解答题
