筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为的筒车...
问题详情:
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈,筒车与水面分别交于点、,筒车的轴心距离水面的高度长为,简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间.
(1)经过多长时间,盛水筒首次到达最高点?
(2)浮出水面3.4秒后,盛水筒距离水面多高?
(3)若接水槽所在直线是的切线,且与直线交于点,.求盛水筒从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线上.(参考数据:,,)
【回答】
(1)27.4秒;(2)0.7m;(3)7.6秒
【解析】
(1)先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度,再利用三角函数确定,最后再计算出所求时间即可;
(2)先根据时间和速度计算出,进而得出,最后利用三角函数计算出,从而得到盛水筒距离水面的高度;
(3)先确定当在直线上时,此时是切点,再利用三角函数得到,
,从而计算出,最后再计算出时间即可.
【详解】
(1)如图1,由题意得,筒车每秒旋转.
连接,在中,,所以.
所以(秒).
答:盛水筒首次到达最高点所需时间为27.4秒.
(2)如图2,盛水筒浮出水面3.4秒后,此时.
所以.
过点作,垂足为,在中,.
.
答:此时盛水筒距离水面的高度.
(3)如图3,因为点在上,且与相切,
所以当在直线上时,此时是切点.
连接,所以.
在中,,所以.
在中,,所以.
所以.
所以需要的时间为(秒).
答:从最高点开始运动,7.6秒后盛水筒恰好在直线上.
【点睛】
本题考查了切线的*质、锐角三角函数、旋转等知识,灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:解答题