已知数列{an}的前n项和为Sn,记bn=.(1)若{an}是首项为a,公差为d的等差数列,其中a,d均为正数...
问题详情:
已知数列{an}的前n项和为Sn,记bn=.
(1) 若{an}是首项为a,公差为d的等差数列,其中a,d均为正数.
① 当3b1,2b2,b3成等差数列时,求的值;
② 求*:存在唯一的正整数n,使得an+1≤bn<an+2.
(2) 设数列{an}是公比为q(q>2)的等比数列,若存在r,t(r,t∈N*,r<t)使得=,求q的值
【回答】
(1) ① 解:因为3b1,2b2,b3成等差数列,
所以4b2=3b1+b3,即4×=3(2a+d)+,解得=.(4分)
② *:由an+1≤bn<an+2,得
a+nd≤<a+(n+1)d,
整理得(6分)
解得<n≤.(8分)
由于-=1且>0.
因此存在唯一的正整数n,使得an+1≤bn<an+2.(10分)
(2) 解:因为==,
所以=.
设f(n)=,n≥2,n∈N*.
则f(n+1)-f(n)=-
=.
因为q>2,n≥2,
所以(q-1)n2+2(q-2)n-3>n2-3≥1>0,
所以f(n+1)-f(n)>0,即f(n+1)>f(n),即f(n)单调递增. (12分)
所以当r≥2时,t>r≥2,
5q-5=0.
又q>2,所以q=.(16分)
知识点:数列
题型:解答题