如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB...

问题详情：

如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（　　）

A．1               B．2                C．3               D．4

【回答】

C

【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的*质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再*∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．

解：连接OB、OC，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵点O是△ABC的中心，

∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°

∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，

而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，

∴∠BOD＝∠COE，

在△BOD和△COE中

，

∴△BOD≌△COE，

∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；

∴S△BOD＝S△COE，

∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③正确；

作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，

∵∠DOE＝120°，

∴∠ODE＝∠OEH＝30°，

∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，

∴DE＝OE，

∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，

即S△ODE随OE的变化而变化，

而四边形ODBE的面积为定值，

∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；

∵BD＝CE，

∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，

当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，

∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．

故选：C．

知识点：图形的旋转

题型：选择题