黄金分割天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割,并指出毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前者好...
问题详情:
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割,并指出毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠宝,历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆,19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来,黄金分割被广泛应用于建筑等领域.黄金分割指把一条线段分为两部分,使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比,该比值为.用下面的方法(如图①)就可以作出已知线段AB的黄金分割点H:
①以线段AB为边作正方形ABCD,
②取AD的中点E,连接EB,
③延长DA到F,使EF = EB,
④以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是线段AB的黄金分割点.
以下是*点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程:
*:设正方形ABCD的边长为1 ,则AB=AD=1 ,
任务:
(1)补全题中的*过程;
(2)如图②,点C为线段AB的黄金分割点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求*: EAB ~BCD;
(3)如图③,在正五边形ABCDE中,对角线AD、AC与EB分别交于点M、N.求*:点M是AD的黄金分割点
【回答】
(1)解:补全*过程如下:
∵四边形AFGH为正方形,
∴AH=AF=,
∴==,(1分)
∴点H是线段AB 的黄金分割点;(2分)
(2)*:∵四边形ACDE为正方形,四边形CBFD为矩形,
∴∠EAB=∠BCD=90°,AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF,(3分)
又∵点C为线段AB的黄金分割点,
∴=,……(4分)
∴=,
∴△EAB∽△BCD;……(5分)
(3)*:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB=AE=DE,∠BAE=∠AED=108°,
∴∠ABE=∠AEB=∠ADE=36°,
∴∠DEM=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°,
∴∠DME=180°-36°-72°=72°,
∴DM=DE=AE,……(7分)
∵∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°,
∴△AME∽△AED,
∴=,……(8分)
∵AE=DE=DM,
∴=,
∴点M是AD的黄金分割点.……(9分)
知识点:勾股定理
题型:解答题